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Poisson の和公式

はてなブログでは MathJax で数式を表示できるそうだ。そのテストも兼ねて。

世の中には Poisson の和公式というものがある。表記は色々あるが、最もシンプル(と思う)のが


\displaystyle
\sum_{n = -\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \tilde{f} (2\pi n)

という形。もっと一般的には


\displaystyle
\sum_{n = -\infty}^{\infty} f(t + nT) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \tilde{f} (2\pi n / T) e^{i2\pi nt / T}

というもの。 T = 1,\ t = 0 とすると一番上の式になる。 これをどうやって導出するかというと、まずは左辺が周期関数になってるので Fourier 級数展開する。


\displaystyle
\sum_{n = -\infty}^{\infty} f(t + nT) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{i2\pi nt / T}

あとは係数を求めるだけでいい。


\displaystyle
c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{-i2\pi n t / T} \sum_ n f(t + nT) dt = \frac{1}{T} \sum_n \int_{nT}^{(n + 1)T} e^{-i2\pi nt / T}  f(t) dt = \tilde{f} (2\pi n / T)

これで終わり。

次に応用としてサンプリング定理を取り上げたいと思う。